Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x là dạng toán yêu cầu học sinh nắm vững phép nhân đơn thức với đa thức, sau đó nhóm các đơn thức đồng dạng lại với nhau rồi rút gọn.
Bài sau chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, qua đó giải một số bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài.
Hiểu đơn giản: Bài toán chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, nghĩa là sau khi rút gọn biểu thức này thì biểu thức không chứa biến x.
I. Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến
Để chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:
– Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức (nếu có)
– Nhóm các đơn thức đồng dạng lại với nhau rồi rút gọn.
II. Bài tập chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến
* Bài tập 1: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
a) A = x(2x+1) – x2(x + 2) + (x3 – x+ 10)
b) B = x(3×2 – x + 5) – (2×3 + 3x – 16) – x(x2 – x + 2)
* Câu trả lời:
a) A = x(2x+1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 10)
= 2×2 + x – x3 – 2×2 + x3 – x + 10
= (x3 – x3) + (2×2 – 2×2 + (x – x) + 10
= 0 + 0 + 0 +10
= 10
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
b) B = x(3×2 – x + 5) – (2×3 + 3x – 25) – x(x2 – x + 2)
= 3×3 – x2 + 5x – 2×3 – 3x + 25 – x3 + x2 – 2x
= (3×3 – 2×3 – x3) + (x2 – x2) + (5x – 3x – 2x) + 25
= 0 + 0 + 0 + 25
= 25
Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.
* Bài tập 2: Chứng tỏ các đa thức sau không phụ thuộc vào biến x
a) C = (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
b) D = x2(x – 2) – x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)
* Câu trả lời:
a) C = (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
= (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
= x2(x + 1) – x.(x + 1) – x2(x – 1) – x(x – 1)
= x3 + x2 – x2 – x – x3 + x2 – x2 + x
= (x3 – x3) + (x2 – x2 + x2 – x2) + (x – x)
= 0 + 0 + 0 = 0
Vậy giá trị của biểu thức C = 0 không phụ thuộc vào biến x
b) D = x2(x – 2) – x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)
= x2.x – x2.2 – x.x2 – xx – x.1 + x.3x + x.1
= x3 – 2×2 – x3 – x2 – x + 3×2 + x
= (x3 – x3) + (3×2 – 2×2 – x2) + (x – x)
= 0 + 0 + 0 = 0
Vậy giá trị của biểu thức D = 0 không phụ thuộc vào biến x
* Bài tập 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x, y
A = (x – 2y)(x + 2y) + (2y – x)(2y + x) + 2022
* Câu trả lời:
Ta có: A = (x – 2y)(x + 2y) + (2y – x)(2y + x) + 2022
= x(x + 2y) – 2y(x + 2y) + 2y(2y + x) – x(2y + x) + 2022
= x2 + 2xy – 2xy – 4y2 + 4y2 + 2xy – 2xy – x2 + 2022
= (x2 – x2) + (4y2 – 4y2) + (2xy – 2xy + 2xy – 2xy) + 2022
= 0 + 0 + 0 + 2022
= 2022
Vậy giá trị của biểu thức A = 2022 và không phụ thuộc vào các biến x, y.
* Bài tập 4: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y.
B = (2x – y2)(2x + y2) + (y2 + 3)(y2 – 3) – 4×2
* Câu trả lời:
Ta có: B = (2x – y2)(2x + y2) + (y2 + 3).(y2 – 3) – 4×2
= 2x(2x + y2) – y2(2x + y2) + y2(y2 – 3) + 3(y2 – 3) – 4×2
= 4×2 + 2xy2 – 2xy2 – y4 + y4 – 3y2 + 3y2 – 9 – 4×2
=(4×2 – 4×2) + (2xy2 – 2xy2) + (y4 – y4) + (3y2 – 3y2) – 9
= 0 + 0 + 0 + 0 – 9
= -9
Vậy giá trị của biểu thức B = -9 và không phụ thuộc vào các biến x, y.
* Bài tập 5: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
A = (2x – 4).(1 – x2) + x(2×2 – 2 – 4x)
* Câu trả lời:
Ta có: A = (2x – 4).(1 – x2) + x(2×2 – 2 – 4x)
= 2x(1 – x2) – 4(1 – x2) + 2×3 – 2x – 4×2
= 2x – 2×3 – 4 + 4×2 + 2×3 – 2x – 4×2
= (2×3 – 2×3) + (4×2 – 4×2) + (2x – 2x) – 4
= 0 + 0 + 0 – 4
= -4
Vậy giá trị của biểu thức A = -4 không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
* Bài tập 6: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
a) A = 4×4 – (2×2 – 5)(2×2 + 5) + 10
b) B = x(x2 + x + 1) – x2(x + 1) – (x – 5)
* Bài tập 7: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y.
a) A = 2×3 – 2y3 + (y – x)(2×2 + 2y2) + 2xy(y – x) + 5
b) B = x2(xy – y – x) – x2y(x – 1) + (x -1)(x2 + x + 1) + 9
Hy vọng với bài viết Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x trên đây sẽ giúp các bạn giải các bài tập này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn vui lòng để lại bình luận bên dưới bài viết để trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong ghi nhận và hỗ trợ, chúc các bạn học tập tốt.
Bản quyền bài viết thuộc về THPT Sóc Trăng.Edu.Vn. Mọi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: thptsoctrang.edu.vn